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Factorizacion

La factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

FACTORIZACIÓN DE UN MONOMIO

 
La factorización de monomios es muy similar a la factorización de números. Básicamente consiste en obtener los factores primos del coeficiente y posteriormente obtener los factores de las literales, los cuales quedan indicados por el exponente de cada literal.
Ejemplo. Factorizar el monomio 24xy3z2.
24 x y3 z 2 = 2 • 2 • 2 • 3 • x • y • y • y • z
Ejemplo. Factorizar el monomio -35a3b.

-35 a 3b = -1 • 5 • 7 • a • a • a • b

 
 
 

FACTORIZAR UN POLINOMIO

 
Este tipo de factorización se realiza encontrando un factor que sea común a todos los términos del polinomio. Generalmente ese factor común se construye a partir del máximo común divisor de los coeficientes de los términos y con las literales que se encuentran en todos los términos elevadas al menor exponente que tenga esa literal en alguno de los términos. Este tipo de factorización se justifica con la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Considerando a n como el factor común, la factorización se realiza de la siguiente forma:
 
na + nb + nc + ... = n(a + b + c + ...)
 

Ejemplo. Factorizar el polinomio 6x4y2z - 12x3y3z2 + 9x2y4z3 + 3xy5z4.

 
Por simple inspección el máximo común divisor de 6, -12, 9 y 3 es 3.
La literal x se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 1 en el cuarto término.
La literal y se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 2 en el primer término.
La literal z se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 1 en el primer término.
A partir de las consideraciones anteriores el factor común es 3xy2z. Para encontrar los términos del polinomio factorizado se debe dividir cada término del polinomio oroginal entre el factor común. Finalmente, la factorización queda:
 

6x4y2z - 12x3y3z2 + 9x2y4z3 + 3xy5z4 = (3xy2z)(2x3 - 4x2yz + 3xy2z2 + y3z3)

 

Ejemplo. Encontrar los factores de 6a3b3 + 4a2b4c2 - 2b5c.

 
Nuevamente por simple inspección el máximo común divisor de 6, 4 y -2 es 2.
La literal a no se encuentra en todos los términos.
La literal b se encuentra en todos los términos y su menor exponente es 3 en el primer término.
La literal c no se encuentra en todos los términos.
El factor común es 2b3. La factorización queda:
 

6a3b3 + 4a2b4c2 - 2b5c = (2b3)(3a3 + 2a2bc2 - b2c)