Trinomio de la forma ax^2 +bx +c
Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax^2 +bx +c:
– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.
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Procedimiento para el trinomio de la forma ax^2 +bx +c:
–Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios,
se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3
1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:
6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18
2°) Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 = (6x)^2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)^2 -7(6x) -18
3°) Luego se procede a factorar (6x)^2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°
4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )
5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2)
6°) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre “6”
(6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así: (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.
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Ejemplo:
a) Factorar 20x^2 +7x -6
>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):
20(20x^2 +7x -6) = 400x^2 +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x^2 = (20x)^2 y 20(7x) = 7(20x),
quedaría así: (20x)^2 +7(20x) -120
>> Se factoriza (20x)^2 +7(20x) -120, como un Caso VI
Se encuentra dos factores binomios: (20x + )(20x- )
Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea -120,
y estos son: 15 y -8, porque 15 -8 = 7 y (15)(-8) = -120 –>
la Solución parcial sería : (20x+15)(20x-8)
>> Aplicando la Solución (20x+15)(20x-8) para el caso VII;
Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20: (20x+15)(20x-8) / 20 ,
como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el 2° # divida al otro factor:
y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3) y (20x-8) / 4 = (5x-2)
–> la Solución final es: (4x+3)(5x-2)
– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.
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Procedimiento para el trinomio de la forma ax^2 +bx +c:
–Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios,
se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3
1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:
6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18
2°) Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 = (6x)^2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)^2 -7(6x) -18
3°) Luego se procede a factorar (6x)^2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°
4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )
5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2)
6°) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre “6”
(6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así: (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.
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Ejemplo:
a) Factorar 20x^2 +7x -6
>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):
20(20x^2 +7x -6) = 400x^2 +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x^2 = (20x)^2 y 20(7x) = 7(20x),
quedaría así: (20x)^2 +7(20x) -120
>> Se factoriza (20x)^2 +7(20x) -120, como un Caso VI
Se encuentra dos factores binomios: (20x + )(20x- )
Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea -120,
y estos son: 15 y -8, porque 15 -8 = 7 y (15)(-8) = -120 –>
la Solución parcial sería : (20x+15)(20x-8)
>> Aplicando la Solución (20x+15)(20x-8) para el caso VII;
Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20: (20x+15)(20x-8) / 20 ,
como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el 2° # divida al otro factor:
y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3) y (20x-8) / 4 = (5x-2)
–> la Solución final es: (4x+3)(5x-2)